使用单高斯模型来建模有一些限制，例如，它一定只有一个众数，它一定对称的。举个例子，如果我们对下面的分布建立单高斯模型，会得到显然相差很多的模型：
于是，我们引入混合高斯模型（Gaussian Mixture Model，GMM）。高斯混合模型就是多个单高斯模型的和。它的表达能力十分强，任何分布都可以用GMM来表示。例如，在下面这个图中，彩色的线表示一个一个的单高斯模型，黑色的线是它们的和，一个高斯混合模型：
在小球检测的栗子中，我们试图对红色小球建立单高斯模型（红和绿这二元），会发现红色小球的观测值不是很符合所建立的模型，如下图：
此时，如果我们采取高斯混合模型（两个二元高斯分布），会发现效果好了很多，如下图：
下面，我们来详细地介绍一下高斯混合模型，高斯混合模型的数学形式如下：
其中，是均值为，协方差矩阵为的单高斯模型，是的权重系数（），是单高斯模型的个数。
前面我们提到了GMM的优点（能够表示任何分布），当然GMM也有缺点。其一，参数太多了，每一个单高斯模型都有均值、协方差矩阵和权重系数，另外还有单高斯模型的个数也是其中一个参数，这使得求解GMM十分复杂。其二，有时候所建立的高斯混合模型对观测值的建模效果很好，但是其他值可能效果不好，我们称这个缺点为过度拟合（Overfitting）。
2、求解高斯混合模型：EM算法
在求解单高斯分布的时候，我们用最大似然估计（MLE）的方法得到了理论上的最优解。当我们使用相同的方法试图求解高斯混合模型的时候，会卡在中间步骤上（具体来说，是单高斯分布求和出现在了对数函数里面）。索性我们可以用迭代的方法来求解GMM，具体来说，最大期望算法（Expectation Maximization algorith，EM）。
上一节提到，我们想要求解GMM如下：
这其中需要求解的变量很多：、、、。为了简化问题，我们假定是预先设定好的，并且每个单高斯分布的权重相等，即假定：
这样，我们需要确定的就只剩下每个单高斯分布的参数（、）了。
前面提到，这个模型是没有解析解（理论最优）的。取而代之，我们采取迭代的方法逼近最优解（大家可以回想一下牛顿法求近似求解方程，或者遗传算法）。
在牛顿法中，我们需要预先猜测一个初始解，同样在EM算法中，我们也需要预先猜测一个初始解（）。
在EM算法中，我们引入一个中间变量，其中是单高斯分布的个数，是观测值的数目。
直观地可以这样理解：在确定了所有单高斯分布之后，可以计算观测值发生的概率（分母部分）和第个单高斯分布下观测值发生的概率（分子部分），这样就可以理解为第个高斯分布对观测值发生的概率的贡献了。如下表所示：
表中最后一行可以理解为第个单高斯分布对整个GMM的贡献。
例如，当GMM中时（即由两个单高斯分布组成）：
在这个图中，对于观测值，是第一个单高斯分布下发生的概率，是第二个单高斯分布下发生的概率，是在整个GMM下发生的概率；表示对发生概率的贡献，表示对发生概率的贡献。
当我们算出了所有的之后，我们再反过来用它更新每一个单高斯分布。更新的公式为：
大家可以想一想，对于第个高斯分布，可以理解为第个观测值的贡献，而表示的平均值，用来更新就很好理解了，进而再更新协方差矩阵。
这样，两组值互相更新，当相邻两个步骤值的差小于事先设定一个阈值（threshold）时（收敛），我们停止循环，输出和为所求。
值得一提的是，EM算法的结果和初值有很大关系，不同初值会得到不同的解。（想象一下GMM模型其实是多峰的，不同的初值可能最终收敛到不同的峰值，有的初值会收敛到全局最优，有的初值会收敛到局部最优）
实战：小球检测
具体任务在这个网址：小球检测
简单来说，给你一些图片作为训练集，让你对黄色小球进行建模，建模完成后，读入最左边的原始图片，要求能像最右边的图片一样标识出小球的位置：
（注：我们使用matlab完成所有代码）
第一步：建立颜色模型
前面几节我们提到，要建立高斯分布模型，首先要有很多观测值，所以，我们将在这一步里面采集很多观测值，再建立高斯模型。课程里面提供了19张图片作为训练集供采样：
我们编写代码mark.m，作用为读入一张一张图片，然后手动圈出图片中的黄色小球，将圈中部分的像素RGB值存入观测值。
imagepath = './train';
Samples = [];
for k=1:19
I = imread(sprintf('%s/%03d.png',imagepath,k)); % read files into RGB
R = I(:,:,1);
G = I(:,:,2);
B = I(:,:,3);
% Collect samples
disp('');
disp('INTRUCTION: Click along the boundary of the ball. Double-click when you get back to the initial point.')
disp('INTRUCTION: You can maximize the window size of the figure for precise clicks.')
figure(1), mask = roipoly(I);
figure(2), imshow(mask); title('Mask');
sample_ind = find(mask > 0); % select marked pixels
R = R(sample_ind);
G = G(sample_ind);
B = B(sample_ind);
Samples = [Samples; [R G B]]; % insert selected pixels into samples
disp('INTRUCTION: Press any key to continue. (Ctrl+c to exit)')
pause
end
save('Samples.mat', 'Samples'); % save the samples to file
figure,
scatter3(Samples(:,1),Samples(:,2),Samples(:,3),'.');
title('Pixel Color Distribubtion');
xlabel('Red');
ylabel('Green');
zlabel('Blue');
结果我们采集了6699个观测值，散点图如下：我们选用多元高斯分布作为我们的模型，应用第四节中的结论，编写代码coefficient.m求出平均值和协方差矩阵并存储到本地以供后续使用。
mu = mean(Samples); % mu
sig=zeros(3,3); % sigma
for i=1:N
data=double(Samples(i,:));
sig=sig+(data-mu)'*(data-mu)/N;
end
% save the coefficients to files
save('mu.mat', 'mu');
save('sig.mat', 'sig');
接下来，我们需要编写函数detecBall，以图像为参数，以划分好的黑白图像和小球中心为输出，如下，I是输入的图像，segI是划分好的黑白图像，loc是球的中心点。detecBall.m的具体代码如下：
function [segI, loc] = detectBall(I)
load('mu.mat');
load('sig.mat');
Id=double(I); % array in size of (row, col, 3)
row=size(Id,1);
col=size(Id,2);
% x_i - mu
for i=1:3
Id(:,:,i) = Id(:,:,i) - mu(i);
end
% reshape the image to a matrix in size of (rowcol, 3)
Id=reshape(Id,rowcol,3);
% calc possibility using gaussian distribution
% be careful of using * and .* in matrix multiply
Id = exp(-0.5* sum(Idinv(sig).Id, 2)) ./ (2*pi)^1.5 ./ det(sig)^0.5;
% reshape back, now each pixels is with the value of the possibility
Id=reshape(Id,row,col);
% set threshold
thr=8e-06;
% binary image about if each pixel 'is ball'
Id=Id>thr;
% find the biggest ball area
segI = false(size(Id));
CC = bwconncomp(Id);
numPixels = cellfun(@numel,CC.PixelIdxList);
[biggest,idx] = max(numPixels);
segI(CC.PixelIdxList{idx}) = true;
%figure, imshow(segI); hold on;
S = regionprops(CC,'Centroid');
loc = S(idx).Centroid;
%plot(loc(1), loc(2),'r+');
需要注意的一点是，求像素属于小球的概率的时候，尽量用矩阵运算，而不要用循环，否则会效率低下，请读者仔细揣摩计算技巧，灵活运用矩阵的运算。
接下来，我们就可以测试小球检测的效果啦！
我们编写test.m测试训练集的19张图片：
imagepath = './train';
for k=1:19
I = imread(sprintf('%s/%03d.png',imagepath,k));
[segI, loc] = detectBall(I);
figure, imshow(segI); hold on;
plot(loc(1), loc(2), '+b','MarkerSize',7);
disp('Press any key to continue. (Ctrl+c to exit)')
pause
end
效果如下：